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Verschlüsselung

Ein interessantes Gebiet der Mathematik ist die Kryptologie.

Zuerst einmal etwas Theorie zur Wissenschaft:
Die Kryptologie ist die Wissenschaft vom Verschlüsseln von Informationen.
Man unterteilt die Kryptologie in die Gebiete der Kryptographie, in der es um die
Verschlüsselung von Daten geht und in die Kryptoanalyse, die versucht die Daten
ohne Kenntnis des Schlüssels zu entschlüsseln.
Die Kryptographie soll drei Eigenschaften eines Datums (das ist die Einzahl von
Daten!) sicherstellen:
Authentifizierung: die Herkunft der Daten muß nachweisbar und geschützt sein
Integrität: der Inhalt der Daten muß geschützt und Änderungen erkennbar sein.
Vertraulichkeit: die Geheimhaltung der Daten muß gewährleistet sein.
Nun ein paar leckere Definitionen:
Name Formelzeichen Beschreibung
Klartext M; P zu verschlüsselnde Daten/Informationen
Chiffretext / Kryptogramm C verschlüsselter Klartext
Chiffrierung C=E(M) Umwandlung von Klartext in Chiffretext
Dechiffrierung M=D(C) Umwandlung von Chiffretext in Klartext
Schlüsseltaum Wertebereich aus dem dem Schlüssel ausgewählt werden kann
Algorithmen
Es gibt zwei Arten von Krypto-Algorithmen:
bei eingeschränkten Algorithmen hängt die Sicherheit vom verwendeten Verfahren ab.
Sollte es kompromittiert werden muß der Algo ausgetauscht werde. Heute nur noch
von historischer Bedeutung.
Beispiele sind ROT-13, bei dem jeder Buchstabe um 13 Positionen nach rechts im
Alphabet verschoben wird. Diese Methode ist leicht zu brechen, da die Häufigkeit
der verwendeten Buchstaben gleich bleibt. So läßt man mittels PC die Häufigkeit
der Buchstaben herauszählen und ersetzt sie passend zur Häufigkeit der Klarbuchstaben
in der jeweiligen Sprache. Weitere Probleme beruhen auf der organisatorischen
Seite, da z.B. für jeden Kommunikationspartner ein neuer Algorithmus erforderlich ist.
Schlüsselalgos sind Verfahren bei denen die Sicherheit von verwendeten Schlüsseln
abhängt.
Dies wird mathematisch folgendermaßen dargestellt:
C = EK(M) bzw.
M = DK(C)
Eine dechiffrierung des Kryptogramms ist nur mit Kenntnis des Schlüssels K
möglich. Dies ermöglicht den vielfachen Einsatz eines Algorithmus durch den
Einsatz von benutzerabhängigen Schlüsseln.
Wird zur chiffrierung und dechiffrierung der selbe Schlüssel verwendet spricht
man von einem symmetrischen Verfahren. Die Sicherheit besteht NUR auf der
Geheimhaltung des Schlüssels. Beim asymmetrischen Verfahren werden hingegen zwei
Schlüssel verwendet: K1 zum verschlüsseln, der sogenannte öffentliche Schlüssel
(public Key) und K2 zum entschlüsseln (privater Schlüssel bzw. private key):
C = EK1(M)
M = DK2(C), bei diesem verfahren hängt die Sicherheit von der Geheimhaltung
des privaten Schlüssels ab. In der Praxis zeichnet sich das Verfahren folgendermaßen ab:
Anton hat ein Schlüsselpaar: KAp (privat) und KAö (öffentlich)
und Bärbel hat
ebenfalls sin passendes Schlüsselpaar: KBp und KBö.
Beide machen ihre öffentlichen Schlüssel zugänglich. WIll Anton nun an Bärbel eine
verschlüsselte Nachricht senden geht das so: Er verschlüsselt den Klartext mit
Bärbels öffentlichen Schlüssel, welche zum entschlüsseln ihren privaten Schlüssel verwendet.
C = EKBö(M) bzw. M = DKBp(C)

Digitale Signatur
Asymmetrische Verfahren eignen sich auch zum digitalen signieren und zwar nach diesem einfachen System:
Anton verschlüselt seinen Klartext mit seinem privaten Schlüssel und
mit Bärbels Öffentlichen. Bärbel etnschlüsselt mit ihrem privaten Schlüssel
und mit Antons Öffentlichen. So ist sichergestellt das die Info von Anton
stammt, da nur er den Klartext mit seinem privaten Schlüssel codieren kann
(sofern der private Schlüssel nicht kompromittiert wurde, was aber allgemein
auszuschließen ist).
Die Schlüssel eines Schlüsselpaares werden nur per Definition für öffentlich und
privat erklärt, da die Operationen des Codierungsalgos mit einem Schlüssel durch
den anderen Schlüssel wieder aufgehoben werden können. In "mathematisch" am
beispiel Anton so ausgedrückt:
C = EKAö(M); M = DKAp(C) => M = DKAp(EKAö(M))
C = EKAp(M); M = DKAö(C) => M = DKAö(EKAp(M))

$Id: krypto.html,v 1.5 2006/04/30 21:30:26 stefan Exp $